Tétraèdre (AP du 5 avril)

[sc]

En repère orthonormal on considère A(1;5;0) , B(3;8;1), C(4;3;0) et M(2;2;2)
Quel est le volume du tétraèdre ABCM ?

figure

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[lucille]

Pour calculer le volume ABCM :

- Je trace une représentation graphique de la situation sur Geogebra.
- J'ai donc modélisé le tétraèdre.
- Ayant l'aire ABC (6.75) il faut donc connaitre la hauteur du point M par rapport au plan ABC.
- Traçage du plan (ABC) --> Vérification de l'équation 2x+3y-13z = 17 en remplaçant respectivement x,y et z par les coordonnées de A, B et C.
- Équation validée.
- Je détermine un vecteur orthonormal au plan passant par M pour connaître la hauteur M,(ABC).
- Je sais que le vecteur $ \vec n $ (2,3,-13) et vecteur directeur du plan.
- Ainsi, d(M,(ABC)) = (| $ \vec AM $ - $ \vec n $ |)/|| $ \vec n $ || = 2.45
- On calcule donc le volume du tétraèdre ABCM avec la formule : Bx(1/3)xh
- Résultat : 5.5125 (unité arbitraire ²)

FIRST !!!

[K4P0R4L_5]

Pour calculer le volume de ABCM :
- On trace le tétraèdre à l'aide de Géogébra 3D
-On identifie une base de celui-ci ( (ABC) est la base la plus astucieuse car il s'agit d'un triangle rectangle)
-On en détermine une équation de (ABC)
-Avec géogébra on trouve : 2x+3y-13z-17=0
-On vérifie cette équation en remplaçant x y et z par les coordonnées respectives des point A B et C
-On en déduit le vecteur normal a ce plan, $ \vec n $ (2,3,-13)
- On détermine ensuite la distance du point M au plan (ABC) pour en déduire la hauteur du tétraèdre d'après la formule du cours : ( d(M,(ABC) ) = (| $ \vec{AM} $ . $ \vec n $ |)/(|| $ \vec n $ ||)=2,45
-On calcule l'aire de ABC , Base = 6.75
-On en déduit le volume d'après la formule : V=1/3Base*hauteur = 5,5125 ( unité arbitraire )

DEUZZZ

[natacha38]

On a commencé par dessiner la figure sur geogebra 3D.
Puis on sais que le volume d'un tétraèdre est : 1/3 de la base fois la hauteur
Le triangle ABC est rectangle en A.
On cherche un équation du plan (ABC). On trouve : (ABC): 2x-3y+13z=-17
on en déduit que le vecteur normal n vaut : n(2;3;-13)
Nous pouvons alors calculer la distance du point M par rapport au plan (ABC) (cette distance représente la hauteur).
d(M,(ABC))=| $ \vec n $ . $ \vec AM $ | / || $ \vec n $ ||
= |33| / $ \sqrt 181 $
On calcul l'aire du triangle ABC qui vaut : Aabc= $ \sqrt 13 $ * $ \sqrt 14 $ /2 = 6.75
on applique alors la formule du volume d'un tétraèdre :
1/3* $ \sqrt 13 $ * $ \sqrt 14 $ /2* ( |33|/ $ \sqrt 181 $ )= 5.51

[Damien]

1)On commence par déterminer la nature du triangle ABC : il semble rectangle.
On confirme : $ \vec AB $ . $ \vec AC $ =0 donc (AB) et (AC) sont perpendiculaires, donc abc est rectangle en A.

2)On calcule ensuite l'aire X de ce triangle : X=(AB*AC)/2
AB=normeAB=sqrt((-2)²+(-3)²+(-1)²)=sqrt(14)
AC=normeAC=sqrt((3)²+(-2)²+0)=sqrt(13)
Et X=(sqrt(14)*sqrt(13))/2

3)on calcule la hauteur h soit la distance de M au plan (ABC):
d(M,(ABC))=| $ \vec AM $ . $ \vec n $ |/norme $ \vec n $ avec $ \vec n $ normal au plan (ABC)
h=....

4)on calcule enfin le volume du tétraèdre : V=1/3(X*h)
V=

[Mariine]

On cherche à trouver le volume du tétraèdre ABCM.
On commence par déterminer la nature du triangle ABC, ABC est un triangle rectangle.
Calcul Volume tétraèdre : (B*h)/3
Par la suite, on cherche l'équation du plan (ABC). A l'aide de géogebra 3D, on trouve comme équation : 2x+3y-13z+17=0
Le vecteur normal $ \vec n $ =(2,3,-13)
Ensuite, nous devons déterminer la hauteur: d(M,(ABC))= | $ \vec AM $ . $ \vec n $ |/|| $ \vec n $ ||=2,45


Marine

[Coralex]

On sait que la formule pour calculer le volume d'un tétraèdre est: V=(1/3)*Base*hauteur.
Après avoir rentré, sur Geogebra 3D les coordonnées des sommets de celui-ci, nous avons pu obtenir l'équation du plan (ABC):-2x-3y+13z+17=0
Nous avons donc pu en déduire que les coordonnées du vecteur normal à ce plan sont $ \vec n $ (-2,-3,13)
Or l'aire de la base du tétraèdre est l'aire du triangle ABC, qui est de: A(ABC)=( $ \sqrt {14} $ * $ \sqrt{13} $ )/2
De plus, la hauteur, donc la distance d(M,(ABC))=| $ \vec n $ . $ \vec AM $ |/|| $ \vec n $ ||=2.44
On a donc V(ABMC)=5.48

[Melody B]

On cherche le volume du tétraèdre ABCM.On connait les points A(1;5;0), B(3;8;1), C(4;3;0) et M(2;2;2).
Pour calculer le volume de ce solide on utilise la formule suivante: (B*h)/3.
On cherche donc une équation du plan ABC et la hauteur h, qui est la distance de M a ABC.
Pour trouver l'équation on crée la figure sur Geogebra 3D et on obtient l’équation suivante: 2x+3y-13z+17=0
On peut ainsi trouver un vecteur normal $ vec n $ au plan de coordonnées (2;3;-13).
Avec ce vecteur normal on peut ensuite trouver la hauteur grace a la formule suivante: h:d(M,ABC)=(| $ \vec {AM} $ . $ vec n|)/\sqrt \vec n $
On trouve donc $ \AM $ (1;-3;2)
||1*2+3*-3+2*-13|/ $ \sqrt 182 $ |=2.45

On calcule les normes des vecteurs AB et AC pour pouvoir calculer l'aire de ABC: ( $ \sqrt 14 $ * $ \sqrt 13 $ )/2 =6.75
On trouve ainsi une aire de 5.51.

[Lucille-]

1) Grâce à la modélisation géogébra ,on pût déterminer la nature du triangle ABC qui est rectangle .
Pour vérification , il faut faire le produit scalaire des vecteurs AB et AC:
$ \vec {AC} $ ( 3, -2, 0) $ \vec {AB} $ (2, 3, 1)
Soit AB.AC = x( $ \vec {AC} $ )*x( $ \vec {AB} $ )+y( $ \vec {AC} $ )*y( $ \vec {AB} $ )+z( $ \vec {AC} $ )*z( $ \vec {AB} $ )
= 3*2 + -2*3 +0*1
= 0
Le triangle ABC est bien rectangle.

2) Le logiciel nous a offert l'équation du plan ABC : 2x + 3y - 13y -17 = 0
Pour vérifier que cela soit le bon ,on prend un point du plan pour vérifier.
Soit A(1, 5, 0)
On a : 2*1 + 3*5 - 13*0 - 17 = 2 + 15 - 0 - 17 = 0
Donc l'équation de ABC est la bonne

3) Calculons l'aire de ABC
Aire (ABC) = Base*Hauteur / 2
= AC*AB /2
= 3.61 *3.74 / 2
= 6.75

4) calculons la hauteur à partir de M
$ \vec AM $ (1, -3, 2) & $ \vec n $ ( 1, -3, 2)
| $ \vec AM $ . $ \vec n $ | / || $ \vec n $ || = |-33| / $ \sqrt {182} $
= 33 / $ \sqrt {182} $

5) Donc L'aire est de :

1/3 ( B * h) = 1/3 (6.75* (33 / $ \sqrt {182} $ ))
= 5.50

[Thomas]

On détermine la nature du triangle ABC :
on choisit les vecteurs AB et AC et on fait leur produit scalaire : AB.AC = 2*3+3*(-2)+1*0 = 6-6+0 = 0
Le triangle ABC est donc rectangle

Geogebra fournit l'équation pu plan (ABC) : 2x+3y-13y-17 = 0
on la vérifie en remplaçant (x;y;z) dans l'équation par les coordonnées des points A, B et C; on, obtient alors :
2*1+3*5-13*0-17 = 2+15-0-17 = 0
2*3+3*8-13*1-17 = 6+24-13-17 = 0
2*4+3*3-13*0-17 = 8+9-17 = 0
Il s'agit donc bien de l'équation du plan (ABC)
Cette équation nous donne le vecteur normal n : n(2;3;-13)

La distance d(M,(ABC)) = |AM.N| / ||n|| = 2,45

Le volume d'un tétraèdre est égale à : (Base*Hauteur)/3
Dans notre exercice, il vaut donc : Volume(ABCM) = 5,51